Question

16．設(shè)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的傾斜角求得直線方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，由拋物線的性質(zhì)可知丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得O到直線y=$\sqrt{3}$（x-1）的距離d，根據(jù)三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d，即可求得則△OAB的面積．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴F且傾斜角為60°的直線y=$\sqrt{3}$（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨=p+x₁+x₂=$\frac{16}{3}$，
點(diǎn)O到直線y=$\sqrt{3}$（x-1）的距離d，d=$\frac{丨\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴則△OAB的面積S，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{16}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．