Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，若函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為單調(diào)函數(shù)；則t的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，要使函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變化，即可求得t的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
那么：f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）•e^x
當(dāng)f′（t）＞0，f′（t+2）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為單調(diào)函數(shù)．
即：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{t}•t（t-1）＞0}\\{{e}^{t+2}•（t+2）（t+1）＞0}\end{array}\right.$
∵e^t＞0，e^t+2＞0
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{t（t-1）≥0}\\{（t+2）（t+1）≥0}\end{array}\right.$，解得：t≥1或t≤-2
當(dāng)f′（t）＜0，f′（t+2）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為單調(diào)函數(shù)．
即：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{t}•t（t-1）＜0}\\{{e}^{t+2}•（t+2）（t+1）＜0}\end{array}\right.$
∵e^t＞0，e^t+2＞0
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{t（t-1）≤0}\\{（t+2）（t+1）≤0}\end{array}\right.$，無解．
綜上所述：t的取值范圍（-∞，-2]∪[1，+∞）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)判斷單調(diào)性的問題．屬于基礎(chǔ)題．