設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x∈D,使f(x)=x,則稱x是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),也稱f(x)在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn).
(1)證明f(x)=2x-2x-3在區(qū)間(1,4)上有不動(dòng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)在區(qū)間[1,4]上有不動(dòng)點(diǎn),求常數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)根據(jù)“f(x)在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F(x)=f(x)-x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”,令F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在區(qū)間[1,4]上是一條連續(xù)不斷的曲線,利用F(1)•F(4)<0可確定函數(shù)F(x)=f(x)-x在區(qū)間(1,4)內(nèi)有零點(diǎn),從而得到結(jié)論;
(2)依題意,存在x∈[1,4],使,討論將a分離出來,利用導(dǎo)數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍.
解答:解:(1)依題意,“f(x)在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F(x)=f(x)-x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”(2分),
F(x)=f(x)-x=2x-3x-3在區(qū)間[1,4]上是一條連續(xù)不斷的曲線(3分),
F(1)•F(4)=-4×1<0(4分),
所以函數(shù)F(x)=f(x)-x在區(qū)間(1,4)內(nèi)有零點(diǎn),f(x)=2x-2x-3在區(qū)間(1,4)上有不動(dòng)點(diǎn)(5分).
(2)依題意,存在x∈[1,4],使
當(dāng)x=1時(shí),使(6分);
當(dāng)x≠1時(shí),解得(8分),
(9分),
得x=2或,舍去)(10分),
x(1,2)2(2,4)
a′+-
a最大值
(12分),當(dāng)x=2時(shí),(13分),
所以常數(shù)a的取值范圍是(14分).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,以及函數(shù)零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究最值等有關(guān)知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),也稱f(x)在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn).
(1)證明f(x)=2x-2x-3在區(qū)間(1,4)上有不動(dòng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)f(x)=ax2-x-a+
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在區(qū)間[1,4]上有不動(dòng)點(diǎn),求常數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(X)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=ax2-3x-a+
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2
在區(qū)間[1,4]上存在次不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(-∞,
1
2
]
(-∞,
1
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),也稱f(x)在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn).
(1)證明f(x)=2x-2x-3在區(qū)間(1,4)上有不動(dòng)點(diǎn);
(2)若函數(shù)數(shù)學(xué)公式在區(qū)間[1,4]上有不動(dòng)點(diǎn),求常數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省江門市新會(huì)一中高三(上)第三次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x∈D,使f(x)=-x,則稱x是f(X)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=ax2-3x-a+在區(qū)間[1,4]上存在次不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是   

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