Question

16．如圖，已知四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，設(shè)平面PAD∩平面PBC=l．
（Ⅰ）求證：l∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：PB⊥BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用線(xiàn)面平行的判定可證BC∥平面PAD，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)可證BC∥l，進(jìn)而利用線(xiàn)面平行的判定證明l∥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用線(xiàn)面垂直的判定可證AD⊥平面POB，由BC∥AD，可證BC⊥平面POB，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可證明BC⊥PB．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
證明：（Ⅰ）∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，AD∥BC，
∴BC∥平面PAD…（2分）
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC∥l．…（4分）
又∵l?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴l(xiāng)∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，
由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面POB，…（10分）
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，
∴BC⊥PB．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．