【題目】如圖所示,EB垂直于菱形ABCD所在平面,且EB=BC=2,∠BAD=60°,點(diǎn)G、H分別為邊CD、DA的中點(diǎn),點(diǎn)M是線段BE上的動點(diǎn).

I)求證:GHDM;

II)當(dāng)三棱錐D-MGH的體積最大時,求點(diǎn)A到面MGH的距離.

【答案】(Ⅰ)見解析;(II

【解析】

(Ⅰ)先證明GH⊥平面BDE.再證明GHDM;(II)先證明BM⊥平面ABCD,再計算得到.所以當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時,BM取得最大值2,此時(VD-MGHmax

再求A到平面MGH的距離為.

(Ⅰ)證明:連接AC、BD相交于點(diǎn)O

BE⊥平面ABCD.而AC平面ABCD,∴BEAC

又∵四邊形ABCD為菱形,∴BDAC

BDBE=B,∴AC⊥平面BDE

G、H分別為DCAD的中點(diǎn),∴GHAC,則GH⊥平面BDE

DM平面BDE,∴GHDM;

II)菱形ABCD中,∠BAD=60°,得,∠ADC=120°

DG=DH=1,

SDGH==,

BE⊥平面ABCD,即BM⊥平面ABCD

=

顯然,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時,BM取得最大值2,此時(VD-MGHmax=

MG=MH=,GH=,則,

HAD中點(diǎn),所以A到平面MGH的距離d1等于到平面MGH的距離d2,

VD-MGH=VM-DGH,∴,得d2=

A到平面MGH的距離為

練習(xí)冊系列答案
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