如圖，四棱錐E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn)，且BF平面AC E．

（1）求證：AEBE；

（2）求三棱錐D—AEC的體積；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

 

【答案】

（1）空間中的線線垂直的證明，一般主要是通過線面垂直的性質(zhì)定理來加以證明。

（2）

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）ABCD是矩形，BCAB，平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD，BC平面EAB，

EA平面EAB，BCEA ，BF平面ACE，EA平面ACE，BF EA， BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC，EA平面EBC ，BE平面EBC， EA BE。 

（2） EA BE，AB=

 ，設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連結(jié)EO，

∵AE=EB=2，EOAB，平面EAB平面ABCD，EO平面ABCD，即EO為三棱錐E—ADC的高，且EO=，。

（3）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E、OB所在直線為，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

 ，由（2）知是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面ECD的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)二面角A—CD—E的平面角的大小為，由圖得，

所以二面角A—CD—E的余弦值為。

考點(diǎn)：二面角的平面角，線面垂直

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，以及建立直角坐標(biāo)系來求解二面角的 平面角是常用 方法之一，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，EC⊥平面ABCD，AB=
2
，CE=1，G為AC與BD交點(diǎn)，F(xiàn)為EG中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD．
（Ⅰ）求證：AB⊥ED；
（Ⅱ）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF∥平面BCE？若存在，求出
EFEA
；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐 E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=AE=CD=2AB，M是EC的中點(diǎn)．
（I）求證：平面BCE⊥平面DCE；
（II）求銳二面角M-BD-C平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐E-ABCD中，面ABE⊥面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，側(cè)面ABE是等腰直角三角形．且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）判斷AB與DE的位置關(guān)系；
（2）求三棱錐C-BDE的體積；
（3）若點(diǎn)F是線段EA上一點(diǎn)，當(dāng)EC∥平面FBD時(shí)，求EF的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年山東省淄博一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，四棱錐 E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=AE=CD=2AB，M是EC的中點(diǎn)．
（I）求證：平面BCE⊥平面DCE；
（II）求銳二面角M-BD-C平面角的余弦值．

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