【題目】(2016·全國(guó)Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若S5=,求λ.
【答案】(1)見解析(2)λ=-1.
【解析】試題分析:(1)利用前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和相減,即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(2)通過(guò)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,以及前5項(xiàng)和的值列出方程,即可求出等比數(shù)列的公比。
試題解析:(1)證明 由題意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0,
所以=.
因此{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
于是an=.
(2)解 由(1)得Sn=1-.
由S5=得1-=,即=.
解得λ=-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若為偶函數(shù),求的值并寫出的增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集為,當(dāng)時(shí),求的最小值;
(Ⅲ)對(duì)任意的,,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | a | ||
第3組 | 30 | b | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 | ||
合計(jì) | 100 |
Ⅰ求出頻率分布表中a,b的值,再在答題紙上完成頻率分布直方圖;
Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績(jī)的中位數(shù);
Ⅲ高校決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,再?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試,求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, ,平面底面, 為中點(diǎn), 是棱上的點(diǎn), .
(Ⅰ)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若二面角為,設(shè),試確定的值.
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【題目】秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入n,x的值分別為4,2,則輸出v的值為 ( )
A. 9B. 18C. 25D. 50
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【題目】時(shí)下,租車已經(jīng)成為新一代的流行詞,租車自駕游也慢慢流行起來(lái),某小車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是,不超過(guò)2天按照300元計(jì)算;超過(guò)兩天的部分每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為100元(不足1天的部分按1天計(jì)算).有甲乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車自駕游(各租一車一次),設(shè)甲、乙不超過(guò)2天還車的概率分別為;2天以上且不超過(guò)3天還車的概率分別;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)4天.
(1)求甲所付租車費(fèi)用大于乙所付租車費(fèi)用的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中, ,點(diǎn)分別在邊上,且, 交于點(diǎn).現(xiàn)將沿折起,使得平面平面,得到圖2.
(Ⅰ)在圖2中,求證: ;
(Ⅱ)若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)在什么位置時(shí),二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的最小值.
(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間有5名工人其中初級(jí)工2人,中級(jí)工2人,高級(jí)工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名.
Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級(jí)工的概率;
Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級(jí)工的概率.
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