考查復合函數(shù)求導的基礎(chǔ)知識以及導數(shù)知識的綜合應用．
已知函數(shù)數(shù)學公式，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

解：（1）．
因f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=0，解得a=1 （經(jīng)檢驗）．…（4分）
（2），因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
當a≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，由f'（x）＞0，解得；由f'（x）＜0，解得．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
于是，f（x）在處取得最小值，不合．
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）
注：不檢驗不扣分．
分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=1處取極值，所以f'（1）=0求出a即可；
（2）求出f′（x），再進行分類討論：當a≥2時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，可確定f（x）的單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間從而可知，f（x）在處取得最小值，不合，故可求a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，考查復合函數(shù)求導的基礎(chǔ)知識以及導數(shù)知識的綜合應用，注意分類討論思想的運用
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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