17.設集合A2n={1,2,3,…,2n}(n∈N*,n≥2).如果對于A2n的每一個含有m(m≥4)個元素的子集P,P中必有4個元素的和等于4n+1,稱正整數(shù)m為集合A2n的一個“相關數(shù)”.
(Ⅰ)當n=3時,判斷5和6是否為集合A6的“相關數(shù)”,說明理由;
(Ⅱ)若m為集合A2n的“相關數(shù)”,證明:m-n-3≥0;
(Ⅲ)給定正整數(shù)n.求集合A2n的“相關數(shù)”m的最小值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)相關數(shù)的定義判斷即可;
(Ⅱ)根據(jù)相關數(shù)的定義得到m≤n+2時,m一定不是集合A2n的“相關數(shù)”,得到m≥n+3,從而證明結(jié)論;
(Ⅲ)根據(jù)m≥n+3,將集合A2n的元素分成n組,對A2n的任意一個含有n+3個元素的子集p,必有三組${C}_{{i}_{1}}$,${C}_{{i}_{2}}$,${C}_{{i}_{3}}$同屬于集合P,不妨設${D}_{{j}_{4}}$與${C}_{{i}_{3}}$無相同元素,此時這4個元素之和為[i1+(2n+1-i1)+(2n-j4)]=4n+1,從而求出m的最小值.

解答 解:(Ⅰ)當n=3時,A6={1,2,3,4,5,6},4n+1=13,
①對于A6的含有5個元素的子集{2,3,4,5,6},
因為2+3+4+5>13,
所以5不是集合A6的“相關數(shù)”;
②A6的含有6個元素的子集只有{1,2,3,4,5,6},
因為1+3+4+5=13,
所以6是集合A6的“相關數(shù)”.
(Ⅱ)考察集合A2n的含有n+2個元素的子集B={n-1,n,n+1,…,2n},
B中任意4個元素之和一定不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2.
所以n+2一定不是集合A2n的“相關數(shù)”;
所以當m≤n+2時,m一定不是集合A2n的“相關數(shù)”,
因此若m為集合A2n的“相關數(shù)”,必有m≥n+3,
即若m為集合A2n的“相關數(shù)”,必有m-n-3≥0;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 m≥n+3,
先將集合A2n的元素分成如下n組:
Ci=(i,2n+1-i),(1≤n),
對A2n的任意一個含有n+3個元素的子集p,
必有三組${C}_{{i}_{1}}$,${C}_{{i}_{2}}$,${C}_{{i}_{3}}$同屬于集合P,
再將集合A2n的元素剔除n和2n后,分成如下n-1組:
Dj=(j,2n-j),(1≤j≤n-1),
對于A2n的任意一個含有n+3個元素的子集P,必有一組${D}_{{j}_{4}}$屬于集合P,
這一組${D}_{{j}_{4}}$與上述三組${C}_{{i}_{1}}$,${C}_{{i}_{2}}$,${C}_{{i}_{3}}$中至少一組無相同元素,
不妨設${D}_{{j}_{4}}$與${C}_{{i}_{3}}$無相同元素.
此時這4個元素之和為[i1+(2n+1-i1)+(2n-j4)]=4n+1,
所以集合A2n的“相關數(shù)”m的最小值為n+3.

點評 本題考查了相關數(shù)的定義及其應用,考查新定義的理解,是一道中檔題.

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