Question

已知平面上的線段1及點(diǎn)P，任取1上的一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到線段1的距離，記為d（P，l）．設(shè)A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1），L₁=AB，L₂=CD，若P（x，y）滿足d（P，L₁）=d（P，L₂），則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．

Answer 1

分析：該題就是尋找平面內(nèi)到線段AB的距離等于到線段CD的距離相等的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)x≤0時(shí)，x軸上的點(diǎn)到線段AB的距離等于到線段CD的距離，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離即為到點(diǎn)B的距離，到點(diǎn)B的距離等于到直線CD的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，當(dāng)x＞2時(shí)，滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離即為到點(diǎn)B與到點(diǎn)D的距離相等點(diǎn)，從而求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：根據(jù)題意畫出線段AB與線段CD，
∵P（x，y）滿足d（P，L₁）=d（P，L₂），
∴點(diǎn)P滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離，
當(dāng)x≤0時(shí)，x軸上的點(diǎn)到線段AB的距離等于到線段CD的距離，故y=0（x≤0），
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離即為到點(diǎn)B的距離，到點(diǎn)B的距離等于到直線CD的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，
根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)B是拋物線的焦點(diǎn)，CD是準(zhǔn)線，則

p

2

=1，
∴x²=4y，即y=

1

4

x²，（0＜x≤2），
當(dāng)x＞2時(shí)，滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離即為到點(diǎn)B與到點(diǎn)D的距離相等點(diǎn)，
在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)即為線段BD的垂直平分線，
∴點(diǎn)P的軌跡為y=x-1（x＞2），
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．
故答案為：y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法及其圖象的作法，對于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題．根據(jù)不同的范圍研究不同的解析式，從而選定用分段函數(shù)來表示．屬于中檔題．