【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

1)求的取值范圍;

2)設(shè)兩個極值點分別為,證明: .

【答案】1;(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于方程有兩個不同根,即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,討論函數(shù)單調(diào)性和極值根據(jù)圖象即可求的取值范圍;(2)作差得, ,即.原不等式等價于 ,則,只需證明不等式成立即可.

試題解析:(1)依題意,函數(shù)的定義域為,所以方程有兩個不同根.

即,方程有兩個不同根.

轉(zhuǎn)化為,函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點.

,即時, , 時, ,

所以上單調(diào)增,在上單調(diào)減,從而.

有且只有一個零點是1,且在時, ,在時, ,

所以的草圖如下,

可見,要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,只需.

2)由(1)可知分別是方程的兩個根,即, ,

設(shè),作差得, ,即.

原不等式等價于

,則

設(shè), ,

函數(shù)上單調(diào)遞增,

,

即不等式成立,

故所證不等式成立.

練習(xí)冊系列答案
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