Question

已知直線l過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點，P為C的準線上一點，且S_△ABP=36，則過拋物線C的焦點的弦長的最小值是

12

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式S_△PAB=

1

2

|AB|•hP=36，（h_P表示點P到直線AB的距離），解得p．．
由拋物線的性質(zhì)可得：過拋物線C的焦點的弦長的最小值是2p．

解答：解：如圖所示，
∵AB⊥x軸，且過焦點F(

p

2

，0)，點P在準線上．
∴S_△PAB=

1

2

|AB|•hP=

1

2

×2p×p=36，（h_P表示點P到直線AB的距離），解得p=6．
∴拋物線方程為y²=12x．
由拋物線的性質(zhì)可得：過拋物線C的焦點的弦長的最小值是2p=12．
故答案為12．

點評：正確理解過拋物線的焦點弦中弦長最短的是拋物線的通徑2p是解題的關(guān)鍵．