Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)“當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”，求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由（1）和條件求出b_n，并進(jìn)行裂項后代入T_n，相消后求出結(jié)果．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
顯然n=1是也滿足，所以{a_n}的通項公式a_n=2n；
（2）由（1）知a_n=2n，故bn=

1

(n+1)an

=

1

(n+1)(2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

(n+1)

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2n+2

．

點評：本題考查“當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”的應(yīng)用，以及裂項相消法求數(shù)列的和，這是�？嫉念}型．