Question

已知函數．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區(qū)間；

（3）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）,（2）當時，在上單調遞減,若，單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．若，在上單調遞增．（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數幾何意義求切線斜率，根據點斜式寫切線過程. 函數的定義域為，．當時，函數，，．所以曲線在點處的切線方程為,即．（2）利用導數研究函數單調性，關鍵明確導函數零點與定義域的關系，正確判斷導數符號. 當時，,,當時,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉化為求函數最值. 因為，等價于.令，等價于“當 時，”. 因為當時，，所以，因此.

函數的定義域為，． 1分

（1）當時，函數，，．

所以曲線在點處的切線方程為，

即． 4分

（2）函數的定義域為．

1.當時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調遞減． 5分

2.當時，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； 6分

由，即，得． 7分

所以函數的單調遞增區(qū)間為和，

單調遞減區(qū)間為． 9分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增． 10分

（3）因為存在一個使得，

則，等價于. 12分

令，等價于“當 時，”.

對求導，得. 13分

因為當時，，所以在上單調遞增.

所以，因此. 16分

另【解析】
設，定義域為，

.

依題意，至少存在一個，使得成立，

等價于當 時，. 11分

（1）當時，

在恒成立，所以在單調遞減，只要，

則不滿足題意. 12分

（2）當時，令得.

（�。┊�，即時，

在上，所以在上單調遞增，

所以，由得，，所以. 13分

（ⅱ）當，即時，

在上，所以在單調遞減，

所以，由得. 14分

（ⅲ）當，即時， 在上，在上，

所以在單調遞減，在單調遞增，

，等價于或，解得，所以，. 15分

綜上所述，實數的取值范圍為. 16分

考點：利用導數求切線方程，利用導數求函數單調區(qū)間，利用導數求函數最值