Question

如圖，已知A₁，A₂分別為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的下焦點(diǎn)，P為橢圓上異于A₁，A₂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線A₁P，A₂P分別交直線l：y=m（m＜-2）于M，N點(diǎn)
（1）當(dāng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且PF∥l時(shí)，求直線A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過F點(diǎn)？若存在加以證明，若不存在，請說明理由；
（3）由（2）問所得m值，求線段MN最小值．

Answer 1

分析：（1）PF∥l時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P（

3

2

，-1）．由A₁（0，-2）．能求出直線A₁M方程
（2）設(shè)A₁M：y=k₁x-2，由

y=k1x-2 y=m

，得M（

m+2

k1

，m），

FM

=（

m+2

k1

，m+1）．設(shè)A₂N：y=k₂x+2，由

y=k2x+2 y=m

，得N（

m-2

k2

，m），

FN

=（

m-2

k2

，m+1）．若以MN為直徑的圓過點(diǎn)F，則

FM

•

FN

=0，由此能求出m=-4．
（3）由m=-4，知M（-

2

k1

，-4），N（-

6

k2

，-4），所以|MN|≥2

2 |k1| • 9|k1| 2

=6，由此能求出|MN|最小值．

解答：解：（1）∵橢圓

y2

4

+

x2

3

=1的下焦點(diǎn)F（0，-1），
點(diǎn)P在橢圓上，且點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，
∴PF∥l時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，-1），（x＞0），
把P（x，-1）（x＞0）代入橢圓

y2

4

+

x2

3

=1，
得

1

4

+

x2

3

 =1，x＞0，
解得x=

3

2

，∴P（

3

2

，-1）．
∵A₁為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1的下頂點(diǎn)，
∴A₁（0，-2）．
∴直線A₁M方程：

y+2

x

=

-1+2

3 2

，
即2x-3y-6=0．（3分）
（2）∵A₁，A₂分別為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，
∴A₁（0，-2），A₂（0，2），
設(shè)A₁M：y=k₁x-2，由

y=k1x-2 y=m

，得M（

m+2

k1

，m），
∴

FM

=（

m+2

k1

，m+1）．
設(shè)A₂N：y=k₂x+2，由

y=k2x+2 y=m

，得N（

m-2

k2

，m），
∴

FN

=（

m-2

k2

，m+1）．
若以MN為直徑的圓過點(diǎn)F，則

FM

•

FN

=0，
得

m2-4

K1K2

+(1+m)2=0．（5分）
∵KA1P•KA2P=

y+2

x-0

•

y-2

x-0

=

y2-4

x2

=-

4

3

．（7分）
∴

m2-4

- 4 3

+(m+1)2=0，
∴m=-4．（9分）
（3）∵m=-4，
∴M（-

2

k1

，-4），N（-

6

k2

，-4），
∴|MN|=|

-2

K1

-

-6

K2

|=|

2

K1

-

6

K2

|=|

2

K1

+

9K1

2

|=

2

|K1|

+

9|K1|

2

∴|MN|≥2

2 |k1| • 9|k1| 2

=6，
當(dāng)且僅當(dāng)K2=

4

9

，K=±

2

3

時(shí)，
|MN|最小值為6．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．