Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性

（2）若函數(shù)有一個大于的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)和時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，可知不滿足題意；當(dāng)時，得到函數(shù)單調(diào)性；由，利用導(dǎo)數(shù)證得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有一個大于的零點(diǎn)，滿足題意，由此得到結(jié)果；

（3）由（2）可知，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可說明，由此證得結(jié)論.

（1）由題意知：的定義域為，，

①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，解得：，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知：當(dāng)時，且單調(diào)遞增，不存在大于的零點(diǎn).

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，又，

在上恒成立，無零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，，

令，設(shè)，則，

，在上單調(diào)遞減，

，在上單調(diào)遞減，

，即，

在上無零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，即有一個大于的零點(diǎn)；

綜上所述：滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）證明：由（2）得：且，

由知：要證，即證，

即證，

令，則，

在上單調(diào)遞增，，

，由此證得：.