Question

8．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點對稱．則稱點對[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對“友好點對”（點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”）．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“友好點對”有2對．

Answer 1

分析 根據(jù)題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點個數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時，-x＜0，
則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x²-4x，
則函數(shù)y=-x²-4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是y=x²-4x
由題意知，作出函數(shù)y=x²-4x（x＞0）的圖象，
看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點個數(shù)即可得到友好點對的個數(shù)．如圖：
觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是：2，即f（x）的“友好點對”有：2個．
故答案為：2．

點評 本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決，屬于中檔題