Question

2．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$（n∈N*），則a₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． 4029
• B． 3029
• C． 2249
• D． 2209

Answer 1

分析 因?yàn)槭沁x擇題，可用特殊函數(shù)來(lái)研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，則a₁=f（0）=1，
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₅=4029
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來(lái)說(shuō)的，它雖然沒(méi)有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿(mǎn)足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．對(duì)于客觀題不妨靈活處理，進(jìn)而來(lái)提高效率，拓展思路，提高能力．