某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間分別在A、B兩個位置，A車間有100名員工，B車間有400名員工，現(xiàn)要在公路AC上找一點D，修一條公路BD，并在D處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km，設(shè)∠BDC=α，所有員工從車間到食堂步行的總路程為S．
（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問食堂D建在距離A多遠時，可使總路程S最少？
（1）在△BCD中，∵
BD
sin60°
=
BC
sinα
=
CD
sin(120°-α)
，
∴BD=
3
2
sinα
，CD=
sin(120°-α)
sinα
．
則AD=1-
sin(120°-α)
sinα
．
S=400•
3
2
sinα
+100[1-
sin(120°-α)
sinα
]=50-50
3
•
cosα-4
sinα
，其中
π
3
≤α＜
2π
3
．

（2）S′=-50
3
•
-sinα•sinα-(cosα-4)cosα
sin2α
=50
3
•
1-4cosα
sin2α

令S'=0，得cosα=
1
4
．
當cosα＞
1
4
時，S'＜0，S是α的單調(diào)減函數(shù)；
當cosα＜
1
4
時，S'＞0，S是α的單調(diào)增函數(shù)．
∴當cosα=
1
4
時，S取得最小值．
此時，sinα=
15
4
，
AD=1-
sin(120°-α)
sinα
=1-
3
2
cosα+
1
2
sinα
sinα
=
1
2
-
3
cosα
2sinα
=
1
2
-
3
2
•
1
4
15
4
=
1
2
-
5
10
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）=2x+
1
x
-1（x＜0），則f（x）有最______（填“大”或“小”）值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知x，y∈R+，且滿足x+2y=xy，那么x+5y的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，求剪去的小正方形的邊長及容積最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中正確的是（　　）
A．y=x+
1
x
的最小值是2
B．y=
x2+3
x2+2
的最小值是2
C．y=
x2+5
x2+4
的最小值是
5
2
D．y=2-3x-
4
x
的最大值是2-4
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知兩條直線l1：y=m和l2：y=
8
2m+1
（m＞0），l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點A，B，l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點C，D．記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a，b，當m變化時，
b
a
的最小值為（　　）
A．16
2
B．8
2
C．8
34
D．4
34

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知正實數(shù)a，b滿足a+2b=1，則a2+4b2+
1
ab
的最小值為（　　）
A．
7
2
B．4C．
161
36
D．
17
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)滿足約束條件，則的最小值是（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知x，y滿足，(x∈Z，y∈Z)，每一對整數(shù)(x，y)對應平面上一個點，則過這些點中的其中3個點可作不同的圓的個數(shù)為(  )
A．45 B．36C．30D．27

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