【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點(diǎn),AA1=AB=2.
(1)求證:AB1∥平面BC1D;
(2)若BC=3,求三棱錐D﹣BC1C的體積.
【答案】
(1)證明:連接B1C,設(shè)B1C與BC1相交于O,連接OD,
∵四邊形BCC1B1是平行四邊形,∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn).
∵D為AC的中點(diǎn),
∴OD為△AB1C的中位線(xiàn),∴OD∥B1A.
OD平BC1D,AB1平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.
(2)解:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1,∴側(cè)棱CC1∥AA1,
又∵AA1⊥底面ABC,∴側(cè)棱CC1⊥面ABC,
故CC1為三棱錐C1﹣BCD的高,A1A=CC1=2,
∴ .
∴ .
【解析】(1)連接B1C,交BC1相交于O,連接OD,可證明OD是△AB1C的中位線(xiàn),再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明.(2)由已知可得側(cè)棱CC1⊥面ABC,把計(jì)算三棱錐D﹣BC1C的體積轉(zhuǎn)化為計(jì)算三棱錐C1﹣BCD的體積.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱中,已知側(cè)面, , , .
(1)求證: 平面;
(2)是棱上的一點(diǎn),若二面角的正弦值為,求線(xiàn)段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有以下命題:
①如果向量 , 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么 , 的關(guān)系是不共線(xiàn);
②O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量 , , 不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則點(diǎn)O,A,B,C一定共面;
③已知向量 , , 是空間的一個(gè)基底,則向量 + , ﹣ , 也是空間的一個(gè)基底;
④△ABC中,A>B的充要條件是sinA>sinB.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,定點(diǎn),點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上,點(diǎn)在直線(xiàn)上,且滿(mǎn)足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn),與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn), 是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線(xiàn),使得,若存在,求出直線(xiàn)的斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子,其中x表示第1枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),
(1)求點(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)y=x﹣1上的概率;
(2)求點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y2<4x的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,圓C:x2+y2﹣8y+12=0,直線(xiàn)l:ax+y+2a=0.
(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線(xiàn)l與圓C相切;
(2)當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),且AB=2 時(shí),求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為 ,且函數(shù)f(x+ )是偶函數(shù),下列判斷正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)d對(duì)稱(chēng)
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=﹣ 對(duì)稱(chēng)
D.函數(shù)f(x)在[ ,π]上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二面角α﹣AB﹣β是直二面角,P為棱AB上一點(diǎn),PQ、PR分別在平面α、β內(nèi),且∠QPB=∠RPB=45°,則∠QPR為( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.150°
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