19.已知f(x)=$\frac{a}{x}$+lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=3時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)研究y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(3)如果f(x)≥0在定義域內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程,
(2)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再分類討論,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性,
(3)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù)g(x)=-xlnx,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,問題得以解決.

解答 解:(1)a=3時,f(x)=$\frac{3}{x}$+lnx,
∴f′(x)=-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$,
∴f′(1)=-3+1=-2,f(1)=3,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3=-2(x-1),即為y=-2x+5;
(2)∵${f^'}(x)=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{x^2}$,
當(dāng)a≤0時,f(x)在(0,+∞)上遞增,
當(dāng)a>0時,f(x)在(a,+∞)上遞增,在(0,a)上遞減.
(3)∵f(x)≥0在定義域內(nèi)恒成立,
∴a≥-xlnx對x∈(0,+∞)恒成立,
設(shè)g(x)=-xlnx,
∴g′(x)=-lnx-1,
令g′(x)=0,解得x=$\frac{1}{e}$,
當(dāng)g′(x)>0時,解得0<x<$\frac{1}{e}$,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)g′(x)<0時,解得x>$\frac{1}{e}$,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g($\frac{1}{e}$)=$\frac{1}{e}$,
∴a≥$\frac{1}{e}$,
故a的取值范圍為[$\frac{1}{e}$,+∞).

點評 本題考查了切線方程和函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.

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