【題目】設(shè)函數(shù),其中x>0,k為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)k≤0時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)k,存在(),使得在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為;(2);(3)證明見解析。
【解析】
(1)f′(x)=.分別令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范圍即可;
(2)函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.化為,,因此在內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可;
(3)令,得,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而分析可得結(jié)果.
,
(1)當(dāng)時(shí),對(duì)任意的都成立.
所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),得在區(qū)間(1,3)上至少有兩個(gè)解,即在區(qū)間(1,3)至少有兩個(gè)解.
令,,則
所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng),,所以在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增.又,,
所以,,且,即.
此時(shí),存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得
且當(dāng)x∈(1,x1)時(shí),,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),,當(dāng)x∈(x2,,3),,滿足條件.
所以k的取值范圍為
(3)令,得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
所以,在上單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)時(shí),,及,
當(dāng)時(shí),.
設(shè)為3和中較大的數(shù),則當(dāng)時(shí),,
所以對(duì)任意給定的實(shí)數(shù),存在,式得在區(qū)間上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】進(jìn)入12月以來,某地區(qū)為了防止出現(xiàn)重污染天氣,堅(jiān)持保民生、保藍(lán)天,嚴(yán)格落實(shí)機(jī)動(dòng)車限行等一系列“管控令”,該地區(qū)交通管理部門為了了解市民對(duì)“單雙號(hào)限行”的贊同情況,隨機(jī)采訪了220名市民,將他們的意見和是否擁有私家車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下的2×2列聯(lián)表:
| 贊同限行 | 不贊同限行 | 合計(jì) |
沒有私家車 | 90 | 20 | 110 |
有私家車 | 70 | 40 | 110 |
合計(jì) | 160 | 60 | 220 |
(1)根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷,能否有99%的把握認(rèn)為“贊同限行與是否擁有私家車”有關(guān);
(2)為了解限行之后是否對(duì)交通擁堵、環(huán)境污染起到改善作用,從上述調(diào)查的不贊同限行的人員中按分層抽樣抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽出2名進(jìn)行電話回訪,求抽到的2人中至少有1名“沒有私家車”人員的概率.
參考公式:K2=
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3..841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值;
(3)數(shù)列滿足.
證明:①;
②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)(,).
(1)橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△OAB(O為原點(diǎn))面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(2,0),B(0,2),,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1),求sin 2θ的值;
(2)若,且θ∈(-π,0),求與的夾角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)命中的概率可視為,為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法,先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),用0,1,2 沒有擊中,用3,4,5,6,7,8,9 表示擊中,以 4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組, 代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
7525,0293,7140,9857,0347,4373,8638,7815,1417,5550
0371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù),則可估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,設(shè).
(1)若圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于,求的取值范圍;
(2)若的最小正周期為,且當(dāng)時(shí),的最大值是,求的解析式,并說明如何由的圖象變換得到的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:①過點(diǎn)的直線方程一定可以表示為的形式;②過點(diǎn)且在x,y軸截距相等的直線方程是;③過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是;④設(shè)點(diǎn)不在直線上,則過點(diǎn)M且與直線l平行的直線方程是;⑤點(diǎn)到直線的距離不小于2.以上命題中,正確的序號(hào)是( )
A.②③⑤B.④⑤C.①④⑤D.①③
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