Question

甲、乙兩地相距s km , 汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c km/h ,已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

（1）y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）為使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)＞c時(shí)，行駛速度v=c

【錯(cuò)解分析】（1）依題意，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間是，全程運(yùn)輸成本為 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函數(shù)及定義域?yàn)閥= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）由題意s,a,b,v均為正數(shù)，故s(+bv)≥2s （當(dāng)且僅當(dāng)=bv時(shí)，即 v=時(shí)，等號(hào)成立）∴v=時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小。
此解（2）中，結(jié)論成立的條件是v=，但速度能否達(dá)到呢？沒(méi)有注意實(shí)際問(wèn)題中的條件限制，使解答不夠完整。
【正解】（1）依題意，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間是，全程運(yùn)輸成本為 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函數(shù)及定義域?yàn)閥= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）應(yīng)分以下兩種情況討論：
①若≤c,則當(dāng)v=時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小。
②若＞c,當(dāng)0＜v≤c時(shí),易證y是v的增函數(shù)，
因此，當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小。
事實(shí)上，s(+bv)- s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0且a＞bc²∴a-bcv≥a-bc²＞0
∴s(+bv)≥s(+bc) （當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)，等號(hào)成立）
綜上所述，為使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)＞c時(shí)，行駛速度v=c。
【點(diǎn)評(píng)】在應(yīng)用均值不等式解題時(shí)，一定要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可，即“一正、二定、三相等”。