Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？請(qǐng)說明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q為常數(shù)，且aq≠0）對(duì)任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ試確定所有的p，使數(shù)列{b_n}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中{a_n}的一項(xiàng)，請(qǐng)證明．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入a_m+a_m+1=a_k，整理可得k和m的關(guān)系式，結(jié)果為分?jǐn)?shù)，根據(jù)m、k∈N，可知k-2m也應(yīng)該為整數(shù)，進(jìn)而可判定不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）利用特殊值法，令m=1，則可知b₁•b₂=b_k，把等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入整理可得a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)；反之a(chǎn)=q^c時(shí)，其中c是大于等于-2的整數(shù)，則b_n=q^n+c，代入b_m•b_m+1中整理得b_m•b_m+1=b_k，進(jìn)而可判斷a、q滿足的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)
（3）設(shè)b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，先看當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，等式不可能成立；再看當(dāng)p=1時(shí)，等式成立，當(dāng)p≥3且為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，整理可得3^m+1（3^p-1）=4k+2，進(jìn)而可知3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1，此時(shí)，一定有m和k使上式一定成立．綜合可知當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，命題都成立．

解答：解：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，
整理后，可得k-2m=

4

3

，∵m、k∈N，
∴k-2m為整數(shù)∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，則b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)
反之當(dāng)a=q^c時(shí)，其中c是大于等于-2的整數(shù)，則b_n=q^n+c，
顯然b_m•b_m+1=q^m+c•q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c
∴a、q滿足的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)
（3）設(shè)b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k
當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，（*）式不成立．
由（*）式得

3m+1(1-3p)

1-3

=2k+1，
整理得3^m+1（3^p-1）=4k+2
當(dāng)p=1時(shí)，符合題意．
當(dāng)p≥3，p為奇數(shù)時(shí)，3^p-1=（1+2）^p-1
=C_p⁰+C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p-1
=C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p
=2（C_p¹+C_p²•2++C_p^p•2^p-1）
=2[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]
∴由3^m+1（3^p-1）=4k+2，得3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1
∴當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有m和k使上式一定成立．
∴當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，命題都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．