Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為ex-y+2=0，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)處的切線斜率，由已知切線方程可得a的方程，解方程即可得到a；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax-2-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-

1

x

，
則f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為k=a-

1

e

，
由切線為ex-y+2=0，可得a-

1

e

=e，
解得a=e+

1

e

；
（2）由f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x＞0上遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0可得x＞

1

a

，
令f′（x）＜0可得0＜x＜

1

a

．
綜上可得，a≤0時(shí)，f（x）只有減區(qū)間（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，+∞），減區(qū)間為（0，

1

a

）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，屬于中檔題．