Question

已知點A₁（0，

2

），B₁（

6

，0），M（2，1），直線l：x=

4

3

6

，若曲線C上的動點P到點B₁的距離等于P到直線l的距離的a倍且曲線C過點A₁．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)平行于OM（O為坐標原點）的直線l₁在y軸上的截距為m（m≠0），且l₁交曲線C于兩點A、B．
（ⅰ）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形；
（ⅱ）若點A、B均位于y軸的右側(cè)，求直線MA的斜率k₁的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線C上的動點P到點B₁的距離等于P到直線l的距離的a倍且曲線C過點A₁，可得點P的軌跡是橢圓，
即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）（�。﹍：y=

1

2

x+m，將式子代入橢圓C得：x²+2mx+2m²-4=0，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．只需證明：k₁+k₂=0即可．
（ⅱ）根據(jù)點A、B均位于y軸的右側(cè)，確定m的范圍，取特殊位置求斜率，即可求直線MA的斜率k₁的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵曲線C上的動點P到點B₁的距離等于P到直線l的距離的a倍且曲線C過點A₁，
∴點P的軌跡是橢圓，
∵A₁（0，

2

），直線l：x=

4

3

6

，
∴b=

2

，

a2

c

=

4

3

6

，
∴a=2

2

，
∴曲線C的方程

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）（�。┳C明：設(shè)l：y=

1

2

x+m，
將式子代入橢圓C得：x²+2mx+2m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0，
故直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．
（ⅱ）∵點A、B均位于y軸的右側(cè)，
∴x₁+x₂=-2m＞0，x₁x₂=2m²-4＞0，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴-2＜m＜-

2

，
m=-2時，直線與橢圓相切，此時切點為P（2，-1），直線MP斜率不存在，
m=-

2

時，該點為橢圓的下頂點D，此時直線MD的斜率為

1+ 2

2

，
∴直線MA的斜率k₁的取值范圍為（

1+ 2

2

，+∞）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．