Question

給出兩個(gè)命題：
命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，
命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．
分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍．
（1）甲、乙至少有一個(gè)是真命題；
（2）甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以求出命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅為真命題時(shí)，a的取值范圍A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，可以求出命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)為真命題時(shí)，a的取值范圍B．
（1）若甲、乙至少有一個(gè)是真命題，則A∪B即為所求
（2）若甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題，則（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）即為所求．

解答：解：若命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅為真命題
則△=（a-1）²x-4a²=-3a²-2a+1＜0
即3a²+2a-1＞0，
解得A={a|a＜-1，或a＞

1

3

}
若命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)為真命題
則2a²-a＞1
即2a²-a-1＞0
解得B={a|a＜-

1

2

，或a＞1}
（1）若甲、乙至少有一個(gè)是真命題
則A∪B={a|a＜-

1

2

或a＞

1

3

}；
（2）若甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題
（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）={a|

1

3

＜a≤1或-1≤a＜-

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的性質(zhì)，其中分析出命題甲乙為真時(shí)，a的取值范圍，是解答的關(guān)鍵．