Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同時(shí)為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）當(dāng)時(shí)，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)y=f′（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，f′（x）==，
其對稱軸為直線x=-b，當(dāng)，解得，
當(dāng)，b無解，
所以b的取值范圍為；（4分）
（2）因?yàn)閒′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，．
由于a，b不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．
（3）因?yàn)閒（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/530040.png' />
所以f（x）在上是増函數(shù)，
在上是減函數(shù)，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)t=0時(shí)，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，，即，解得；
當(dāng)時(shí)，，故．
所以所求t的取值范圍是或．
分析：（1）當(dāng)時(shí)，f′（x）==，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論可得答案；
（2）因?yàn)閒′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，．再由a，b不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立；
（3）將“關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）與的交點(diǎn)”問題解決，先求函數(shù)f（x）因?yàn)閒（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數(shù)，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0”解得a，從而得到f（x），再求導(dǎo)，由，知f（x上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，明確函數(shù)的變化規(guī)律，再研究兩個(gè)函數(shù)的相對位置求解．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，主要涉及了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)解決等問題．