【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，為的中點(diǎn)，平行于，平行于面，.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接、，由三角形中位線定理，以及線面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得為平行四邊形，所以，；（2）取中點(diǎn)，則垂直于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，平面法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求得

平面法向量為，平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：(1)取的中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?/span>平行于，平行于，所以平行于，

所以四點(diǎn)共面，

因?yàn)?/span>平行于面，面與面交與，所以平行于，

所以為平行四邊形.

所以，.

(2取中點(diǎn)，則垂直于，因?yàn)?/span>平行于，所以垂直于，于是以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，

由垂直于，垂直于，平面法向量為，

通過計(jì)算得平面的法向量為.經(jīng)判斷知二面角為鈍角，于是其余弦為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中心在原點(diǎn)的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且橢圓E與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線l（直線的斜率k存在且不為0）交E于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，直線BD交x軸于點(diǎn)Q.試探究是否為定值？請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)（在第一象限），的周長(zhǎng)為8，的離心率為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)，為的左右頂點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對(duì)大氣的污染，保衛(wèi)藍(lán)天，鼓勵(lì)廣大市民使用電動(dòng)交通工具出行，決定為電動(dòng)車（含電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車）免費(fèi)提供電池檢測(cè)服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取100輛委托專業(yè)機(jī)構(gòu)免費(fèi)為它們進(jìn)行電池性能檢測(cè)，電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個(gè)等級(jí)，并分成電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車兩個(gè)群體分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布如圖.

（1）采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取9輛，再?gòu)倪@9輛中隨機(jī)抽取2輛，求至少有一輛為電動(dòng)汽車的概率；

（2）為進(jìn)一步提高市民對(duì)電動(dòng)車的使用熱情，市政府準(zhǔn)備為電動(dòng)車車主一次性發(fā)放補(bǔ)助，標(biāo)準(zhǔn)如下：①電動(dòng)自行車每輛補(bǔ)助300元；②電動(dòng)汽車每輛補(bǔ)助500元；③對(duì)電池需要更換的電動(dòng)車每輛額外補(bǔ)助400元.試求抽取的100輛電動(dòng)車執(zhí)行此方案的預(yù)算；并利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年全國(guó)“兩會(huì)”，即中華人民共和國(guó)第十三屆全國(guó)人大二次會(huì)議和中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議第十三屆全國(guó)會(huì)第二次會(huì)議，分別于2019年3月5日和3月3日在北京召開．為了了解哪些人更關(guān)注“兩會(huì)”，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在歲之間的200人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制出頻率分布直方圖，如圖．

若把年齡在區(qū)間，內(nèi)的人分別稱為“青少年”“中老年”．經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年”和“中老年”的人數(shù)之比為．其中“青少年”中有40人關(guān)注“兩會(huì)”，“中老年”中關(guān)注“兩會(huì)”和不關(guān)注“兩會(huì)”的人數(shù)之比為．

（1）求圖中的值．

（2）現(xiàn)采用分層抽樣在和中隨機(jī)抽取8人作為代表，從8人中任選2人，求2人都是“中老年”的概率．

（3）根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有％的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“兩會(huì)”．

關(guān)注

不關(guān)注

總計(jì)

“青少年”

“中老年”

總計(jì)

附：，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上.橢圓C的左頂點(diǎn)為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ的面積；

（3）過點(diǎn)A作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B.若直線交軸于點(diǎn)C，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著2022年北京冬奧會(huì)的臨近，中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)(單位:萬人)與同比增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖.則下面結(jié)論中正確的是( )

①2012-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)逐年增加；②2013-2015年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)和同比增長(zhǎng)率均逐年增加；③中國(guó)雪場(chǎng)2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬人，因此這兩年的同比增長(zhǎng)率均有提高；④2016-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)的增長(zhǎng)率約為23.4%.

A.①②③B.②③④C.①②D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)長(zhǎng)期堅(jiān)持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會(huì)在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”和“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”兩項(xiàng)測(cè)試，以給學(xué)生課外興趣學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)提供參考依據(jù)．成績(jī)分為，，，，五個(gè)等級(jí)（等級(jí)，，，，分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分）．某班學(xué)生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”科目的成績(jī)?yōu)?/span>的考生有3人．

（1）求該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”的科目平均分以及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”科目成績(jī)?yōu)?/span>的人數(shù)；

（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機(jī)抽取三人，設(shè)三人的成績(jī)之和為，求．

（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊(duì)參加學(xué)校內(nèi)的“數(shù)學(xué)限時(shí)解題挑戰(zhàn)賽”．規(guī)則為：每隊(duì)首先派一名隊(duì)員參加挑戰(zhàn)賽，在限定的時(shí)間，若該生解決問題，即團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功，結(jié)束挑戰(zhàn)；若解決問題失敗，則派另外一名隊(duì)員上去挑戰(zhàn)，直至派完隊(duì)員為止．通過訓(xùn)練，已知甲，乙，丙通過挑戰(zhàn)賽的概率分別是，，，問以怎樣的先后順序派出隊(duì)員，可使得派出隊(duì)員數(shù)目的均值達(dá)到最小？（只需寫出結(jié)果）

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