Question

如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）若二面角PC-CD-B為45°，AD=2，CD=3．
（i）求二面角P-EC-A的大小；
（ii）求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：法一：
（1）取PC中點M，連結(jié)EM，由已知得AF∥EM．由此能證明AF∥平面PEC．                  
（2）（i）以A為坐標原點，分別以

AB

、

AD

、

AP

所在直線為x、y、z軸建立坐標系．利用向量法能求出二面角P-EC-A的大�。�
（ii）求出平面PCE的法向量，

PF

=（0，1，-1），利用向量法能求出點F到平面PCE的距離．
法二：
（1）取PC中點M，連結(jié)ME、MF，則四邊形AFME是平行四邊形，由此能證明AF∥平面PCE．
（2）（i）同法一．
（ii）∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，△PAD是等腰直角三角形．在平面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離．由此能求出點F到平面PCE的距離．

解答： 法一：
（1）證明：取PC中點M，連結(jié)EM，
∵

AF

=

AD

+

DF

=

BC

+

1

2

DP

=

BC

+

1

2

（

DC

+

CP

）=

BC

+

1

2

AB

+

CM

=

EB

+

BC

+

CM

=

EM

，
∴AF∥EM．又EM?平面PEC，AF在平面PEC外，
∴AF∥平面PEC．                  
（2）（i）解：以A為坐標原點，
分別以

AB

、

AD

、

AP

所在直線為x、y、z軸建立坐標系．
∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，∴CD⊥PD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴A（0，0，0）、P（0，0，2）、
D（0，2，0）、F（0，1，1）、E（

3

2

，0，0）、C（3，2，0）．
設(shè)平面PCE的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

EP

，

n

⊥

EC

，
而

EP

=（-

3

2

，0，2），

EC

=（

3

2

，2，0），
∴-

3

2

x+2z=0，且

3

2

x+2y=0．解得y=-

3

4

x，z=

3

4

x．
取x=4，得

n

=（4，-3，3）．
又平面ACE的法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

9+9+16

=

3 34

34

，
∴二面角P-EC-A的平面角為arccos

3 34

34

．
（ii）平面PCE的法向量為

n

=（4，-3，3），
又

PF

=（0，1，-1），
故點F到平面PCE的距離為
d=

| PF • n |

| n |

=

|0-3-3|

16+9+9

=

3 34

17

．
法二：（1）證明：取PC中點M，連結(jié)ME、MF，則MF∥CD，MF=

1

2

CD．
又AE∥CD，AE=

1

2

CD，∴AE∥MF且AE=MF．
∴四邊形AFME是平行四邊形．∴AF∥EM．
∵AF在平面PCE外，EM?平面PCE，∴AF∥平面PCE．
（2）（i）同法一．
（ii）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，
∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴△PAD是等腰直角三角形．
∴AF⊥PD．又AF⊥CD，
∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，
∴EM⊥平面PCD．又EM?平面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．
在平面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離．
由已知，PD=2

2

，PF=

2

，PC=

17

，△PFH∽△PCD，
∴

FH

PF

=

CD

PC

．∴FH=

3 34

17

．

點評：本題考查AF∥平面PCE的證明，考查二面角P-EC-A的大小的求法，考查點F到平面PCE的距離的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．