Question

【題目】如圖，在中,已知，在上，且，又平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可證明．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設(shè)AB=1，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系得出兩個平面的法向量，求出其夾角即可．

詳解：（Ⅰ）證明：設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，

∴DA⊥AO．從而，

在△PDO中，∵PO=2，

∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO．

又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，

∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，

又PO，AB平面PAB，PO∩AB=O，

∴CO⊥平面PAB．

故CO⊥PD．

∵CO∩DO=O，

∴PD⊥平面COD．

（Ⅱ）解：以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系如圖．

則由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），

∴，

由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一個法向量，

設(shè)平面BDC的法向量為，∴，∴，

令y=1，則x=1，z=3，∴，

∴，

由圖可知：二面角B﹣DC﹣O為銳角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值為．