Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=3，a₅+a₇=12，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃=3，a₅+a₇=12，
可得a₁+2d=3，a₁+4d+a₁+6d=12，
解得a₁=d=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，
S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則前10項(xiàng)和T₁₀=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查方程思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．