Question

16．過球O表面上一點A引三條長度相等的弦AB，AC，AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為R，則△BCD的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{R}^{2}$．

Answer 1

分析 法1，將正三棱錐A-BCD補充成一個正方體AGBH-FDEC，說明正三棱錐A-BCD和正方體AGBH-FDEC有共同的外接球，設正方體AGBH-FDEC的棱長為a，求推出與正方體外接球半徑R的關系，然后求解△BCD的面積．
法2，由條件A-BCD是正四面體，△BCD是正三角形，A，B，C，D為球上四點，球心O在正四面體中心如圖5，設BC=a，CD的中點為E，O₁為過點B，C，D截面圓圓心，求出截面圓半徑，正四面體A-BCD的高．然后求解△BCD的面積．

解答 解：法1，由條件A-BCD是正四面體，△BCD是正三角形，A，B，C，D為球上四點，
將正三棱錐A-BCD補充成一個正方體AGBH-FDEC如圖4，
則正三棱錐A-BCD和正方體AGBH-FDEC有共同的外接球，△BCD的邊長就是正方體面的對角線，
設正方體AGBH-FDEC的棱長為a，則正方體外接球半徑R滿足：

a²+a²+a²=（2R）²，解得${a^2}=\frac{4}{3}{R^2}$，所以BC²=${a^2}+{a^2}=\frac{8}{3}{R^2}$，
△BCD的面積$S=\frac{1}{2}BC×BDsin60°=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}{R^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{R^2}$．
法2，由條件A-BCD是正四面體，△BCD是正三角形，A，B，C，D為球上四點，
球心O在正四面體中心如圖5，設BC=a，CD的中點，

為E，O₁為過點B，C，D截面圓圓心，則截面圓半徑$r={O_1}B=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
正四面體A-BCD的高$A{O_1}=\sqrt{{a^2}-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．
∴截面BCD與球心的距離$d=O{O_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R$，在Rt△BOO₁
中，${（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}={R^2}-{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R）^2}$，解得$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R$．
∴△BCD的面積為$S=\frac{1}{2}BC×BDsin60°=\frac{1}{2}×{（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R）^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{R^2}$．

點評 本題考查空間幾何體的位置關系的應用，三角形底面積的求法，點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．