Question

（（本題14分）如圖3，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA=AD=。
(Ⅰ)求證：MN//平面PAD；
(Ⅱ)求證：平面PMC⊥平面PCD；
(Ⅲ)若二面角P—MC—A是60°的二面角，求四棱錐P—ABCD的體積。

Answer 1

證明：(Ⅰ)如答圖所示，⑴設(shè)PD的中點為E，連結(jié)AE、NE，

由N為PD的中點知ENDC，
又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又M是AB的中點，∴ENAN，                      …3分
∴AMNE是平行四邊形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD
∴MN∥平面PAD                                   …4分
(Ⅱ)∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD                                …6分
∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，                          
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD.                                               …8分
　（Ⅲ）解：過A作AH⊥CM，交CM的延長線于H，連PH．
　　∵PA⊥平面ABCD，AH⊥CH，∴PH⊥CH，    ∴∠PHA是二面角P－MC－A的平面角，
∴AH＝                                        …   10分
　　又∵Rt△MHA∽Rt△MBC，
　　
∴    　…12分
∴                               …14分
解法二：(Ⅱ)以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為軸、軸、軸建系
設(shè)AB="b  " (b>0)     面PMC法向量 面PDC法向量
∵        ∴面PMC面PDC                         …8分
（Ⅲ）面MCA法向量       ∵二面角P—MC—A是60°的二面角
∴                         ∴       …12分
∴                     …14分

略