Question

1．某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)的100天中，前40天價(jià)格呈直線上升，而后60天其價(jià)格呈直線下降，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出其中4天的價(jià)格如下表：

時(shí)間	第4天	第32天	第60天	第90天
價(jià)格（千元）	23	30	22	7

（Ⅰ）寫出價(jià)格f（x）關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式（x表示投放市場(chǎng)的第x天，x∈N^*）；
（Ⅱ）銷售量g（x）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為$g（x）=-\frac{1}{3}x+\frac{109}{3}（{1≤x≤100，x∈{N^*}}）$，則該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天的銷售額最高？最高為多少千元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）價(jià)格直線上升，直線下降，說明價(jià)格函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，由表中對(duì)應(yīng)關(guān)系用待定系數(shù)法易求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）由銷售額=銷售量×?xí)r間，得日銷售額函數(shù)S（x）的解析式，從而求出S（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，當(dāng)1≤x≤40時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b過點(diǎn)A（4，23），b（32，20），
代入函數(shù)求得a=$\frac{1}{4}$，b=22；      …（2分）
當(dāng)40＜x≤100時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b過點(diǎn)C（60，22），B（90，7），
代入函數(shù)求得a=-$\frac{1}{2}$，b=52     …（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+22，1≤x≤40，x∈{N}_{+}}\\{-\frac{1}{2}x+52，40＜x≤100，x∈{N}_{+}}\end{array}\right.$  …（5分）
（Ⅱ）設(shè)日銷售額為S（x），則當(dāng)1≤x≤40時(shí)，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{12}$（x²-21x-9592），
當(dāng)x=10或11時(shí)，[S（x）]_max=808.5（千元），…（8分）
當(dāng)40＜x≤100時(shí)，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{6}（{x}^{2}-213x-11336）$，
當(dāng)x=41時(shí)，[S（x）]_max=714（千元）       …（10分）
∵714＜808.5，
∴日銷售額最高是在第10天或第11天，最高值為808.5千元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查求分段函數(shù)的解析式和最大值的應(yīng)用題，考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，屬于中檔題．