【題目】如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點(diǎn)是 的中點(diǎn),連接.
(1)證明:平面平面;
(2)若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)由是等邊三角形,,得.再證明,,從而和證明平面,故平面平面得證.
(2)作,垂足為連接.由,證得結(jié)合二面角為,可得,,.建立空間直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo)則,,向量,即平面的一個(gè)法向量,運(yùn)用公式和,即可得出直線與平面所成角的正弦值.
解:(1)證明:因?yàn)?/span>是等邊三角形,,
所以,可得.
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn),則,,
因?yàn)?/span>,平面PBD,平面,
所以平面,因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面.
(2)如圖,作,垂足為連接.
因?yàn)?/span>,
所以為二面角A-BD-C的平面角.
由已知二面角為,知.
在等腰三角形中,由余弦定理可得.
因?yàn)?/span>是等邊三角形,則,所以.
在中,有,得,
因?yàn)?/span>,所以.
又,所以.
則,.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以向量的方向分別為軸,軸的正方向,
以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,向量,
平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=(3m2﹣2m)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)=x2﹣4x+t.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)x∈[1,9]時(shí),記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設(shè)命題p:x∈A,命題q:x∈B,若命題p是命題q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐與直四棱柱組合而成的幾何體中,四邊形是菱形,,,,,交于,平面,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)動(dòng)點(diǎn)在線段上(包括端點(diǎn)),若二面角的余弦值為,求的長度.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q,L分別為棱A1D1,C1D1,BC的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥QL;
(2)求四面體DPQL的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解高三學(xué)生的“理科綜合”成績是否與性別有關(guān),某校課外學(xué)習(xí)興趣小組在本地區(qū)高三年級(jí)理科班中隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各100名,然后對(duì)這200名學(xué)生在一次聯(lián)合模擬考試中的“理科綜合”成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于240分為“優(yōu)秀”小于240分為“非優(yōu)秀”.
(1)根據(jù)題意,填寫下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“理科綜合”成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān).
性別 | 優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) |
男生 | 35 | ||
女生 | 75 | ||
總計(jì) |
(2)用分層抽樣的方法從成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取12名學(xué)生,然后再從這12名學(xué)生中抽取3名參加某高校舉辦的自主招生考試,設(shè)抽到的3名學(xué)生中女生的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形,,,為的中點(diǎn),.
(1)證明:平面平面;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1) 討論的單調(diào)性;
(2) 設(shè),當(dāng)時(shí), ,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在上有最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有四個(gè)交點(diǎn),設(shè)四個(gè)交點(diǎn)中橫坐標(biāo)最大值為,則( )
A. B. C. 0 D. 2
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com