【題目】已知函數(shù)，，其中．

（Ⅰ）求在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，切線斜率，又切點(diǎn)為，則所求切線方程為；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，可知時(shí)， 單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，故，即，則；又令，同理可得，即，則.可知，在定義域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，得證.

試題解析：（Ⅰ），即切點(diǎn)為.，，即切線的斜率為，切線方程為，即.

（Ⅱ）證明：先設(shè)，定義域?yàn)?/span>，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，即，則.

再設(shè)，定義域?yàn)?/span>，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，即，則.

又知，時(shí)，當(dāng)時(shí)，.結(jié)合前述討論，可得，因?yàn)閮蓚�(gè)等號(hào)分別當(dāng)，時(shí)取得，所以，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.……12分

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