精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC,AB=2,tan∠EAB=
3
2

(1)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(2)記AC=x,V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,求V(x)的表達(dá)式.
分析:(1)欲證平面ACD平面ADE,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACD垂直,而根據(jù)題意可得DE平面ADC;
(2)要求三棱錐A-CBE的體積,可轉(zhuǎn)化成求出三棱錐E-ABC的體積,而該三棱錐的高為BE易于求解,然后根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
解答:解:(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE,BC∥DE
∵DC平面ABC,BC?平面ABC∴DC⊥BC.
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC平面ADC.
∵DE∥BC∴DE平面ADC
又∵DE?平面ADE
∴平面ACD平面ADE
(2)∵DC平面ABC,CD∥BE∴BE⊥平面ABC
AB?平面ABC∴BEAB,
在Rt△ABE中,由tan∠EAB=
BE
AB
=
3
2
,AB=2得BE=
3

在Rt△ABC中∵AC=
AB2-BC2
=
4-x2
(0<x<2)
S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
x
4-x2

V(x)=VC-ABE=VE-ABC=
1
3
S△ABC•BE
=
3
6
x
4-x2
(0<x<2)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平面與平面垂直的判定,以及棱錐的體積和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,AD切⊙O于A,若∠ABC=30°,AC=2,則AD的長(zhǎng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DBCE為平行四邊形,EC⊥平面ABC,AB=2AC=2,tan∠DAB=
3
2

(1)設(shè)F是CD的中點(diǎn),證明:OF∥平面ADE;
(2)求點(diǎn)B到平面ADE的距離;
(3)畫出四棱錐A-BCED的正視圖(圓O在水平面,ABD在正面,要求標(biāo)明垂直關(guān)系與至少一邊的長(zhǎng)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓⊙O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,AD是⊙O的切線,若∠B=30°,AC=
3
,則△CAD的面積為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC,AB=2,tan∠EAB=
3
2

(1)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(2)記AC=x,V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,求V(x)的表達(dá)式;
(3)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí),求證:AD=CE.

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