Question

已知函數(shù)f（x）=

2x2-4

（x＞

2

），試在f（x）圖象上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線2x-y+2=0距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，平移直線方程與函數(shù)的圖形相切，通過判別式求解推出點(diǎn)P，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

2x2-4

（x＞

2

），化為：

x2

2

-

y2

4

=1，其中x＞

2

，y＞0．
在f（x）圖象上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線2x-y+2=0距離最小，
轉(zhuǎn)化為：2x-y+b=0與f（x）=

2x2-4

（x＞

2

）的圖象相切，

y= 2x2-4 x＞ 2 2x-y+b=0

，即消去y可得：2x²+4bx+b²+4=0，
∴△=8b²-32=0，解得b=±2；
當(dāng)b=-2．此時(shí)x=2，y=2，所求P（2，2），最小值為：

|4-2+2|

4+1

=

4 5

5

b=2時(shí)，x=-2，舍去．
在f（x）圖象上的點(diǎn)P（2，2），使得點(diǎn)P到直線2x-y+2=0距離最小為

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程與雙曲線方程的綜合應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．