【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.

（1）證明：；

（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）由平面平面可得面，從而可得；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到結(jié)果.

（1）依題意，面面，，

∵面，面面，

∴面.

又面，

∴.

（2）解法一：向量法

在中，取中點(diǎn)，∵，

∴，∴面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，∵，∴，

∴，，，，，

∴，，.

設(shè)面法向量為，

則，解得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

因?yàn)?/span>，∴.

所以直線與平面所成角的余弦值為.

（2）解法二：幾何法

過作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，

過作的平行線，過作的平行線，交點(diǎn)為，連結(jié)，

過作交于點(diǎn)，連結(jié)，

連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，

四邊形為矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以為線與面所成的角.

令，則，，，

由同一個三角形面積相等可得，

為直角三角形，由勾股定理可得，

所以，

又因?yàn)?/span>為銳角，所以，

所以直線與平面所成角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點(diǎn)和長軸一個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作直徑的圓的周長等于，直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，其中直線l不過原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，其中且.記的面積為S.分別以為直徑的圓的面積依次為，求的最小值.

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【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對冰球運(yùn)動的興趣，隨機(jī)從該校一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對冰球運(yùn)動有興趣的占，而男生有10人表示對冰球運(yùn)動沒有興趣額．

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣

沒興趣

合計(jì)

男

55

女

合計(jì)

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對冰球有興趣的概率．

附表：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.

（�。┣蠹淄瑢W(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切，點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)N，且動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)P，Q是曲線C上兩動點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為T，，的斜率分別為，且，求的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的短軸長為2，傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：.

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【題目】已知橢圓過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程，并求其離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），直線關(guān)于的對稱直線與橢圓交于另一點(diǎn)．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．

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【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證:平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點(diǎn),使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

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