Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可作出判斷、證明；
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，任取x₁、x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；

解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)．證明如下：
∵2^x+1≠0，
∴f（x）的定義域?yàn)镽，
又∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，
任取x₁、x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=2(

1

2x2+1

-

1

2x1+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0，又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在其定義域R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．