Question

11．已知函數(shù)f（x）=mlnx+（4-2m）x+$\frac{1}{x}$（m∈R）．
（1）當m=2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)t，s∈[1，3]，不等式|f（t）-f（s）|＜（a+ln3）（2-m）-2ln3對任意的m∈（4，6）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題等價于對任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），根據(jù)m＞2，分離a，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
m=2時，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
故f（x）的極小值是f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，無極大值；
（2）f′（x）=$\frac{（2x-1）[（2-m）x+1]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2-m}$，
m∈（4，6）時，函數(shù)f（x）在[1，3]遞減，
∴x∈[1，3]時，f（x）_max=f（1）=5-2m，f（x）_min=f（3）=mln3+$\frac{1}{3}$+12-6m，
問題等價于：對任意的m∈（4，6），恒有（a+ln3）（2-m）-2ln3＞5-2m-mln3-$\frac{1}{3}$-12+6m成立，
即（2-m）a＞$\frac{2}{3}$-4（2-m），
∵m＞2，則a＜$\frac{2}{3（2-m）}$-4，
∴a＜（ $\frac{2}{3（2-m）}$-4）_min，
設(shè)m∈[4，6），則m=4時，$\frac{2}{3（2-m）}$-4取得最小值-$\frac{13}{3}$，
故a的范圍是（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．