【題目】為美化城市環(huán)境,相關(guān)部門需對(duì)一半圓形中心廣場(chǎng)進(jìn)行改造出新,為保障市民安全,施工隊(duì)對(duì)廣場(chǎng)進(jìn)行圍擋施工如圖,圍擋經(jīng)過(guò)直徑的兩端點(diǎn)A,B及圓周上兩點(diǎn)C,D圍成一個(gè)多邊形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分別與半圓相切于點(diǎn)A,D,C,B.已知該半圓半徑OA長(zhǎng)30米,∠COD60°,設(shè)∠BOC

(1)求圍擋內(nèi)部四邊形OCQD的面積;

(2)為減少對(duì)市民出行的影響,圍擋部分面積要盡可能小求該圍擋內(nèi)部多邊形ABPQR面積的最小值?并寫出此時(shí)的值

【答案】(1)(2)圍擋內(nèi)部多邊形ABPQR面積的最小值為900平方米,此時(shí)

【解析】

(1)連接將四邊形變?yōu)閮蓚(gè)全等的直角三角形,求得的長(zhǎng)度后可計(jì)算得面積.(2)根據(jù)(1)的方法,求得多邊形的面積,求得總面積的表達(dá)式,利用換元法以及基本不等式求得多邊形面積的最小值以及此時(shí)的值.

解:

(1)連接OQ,因?yàn)?/span>QDQC為圓O的切線,所以QDQC,ODOC=30,

OQOQ,所以ODQ≌△OCQ,所以∠DOQ=COQ=30°,

又因?yàn)?/span>ODDQ,所以=tan30°=,所以DQ=10,

所以SODQOD·DQ=150,所以SOCQD=2SODQ =300;

即圍擋內(nèi)部四邊形OCQD的面積為300平方米;

(2)BP=OB tan,SOBPC=2SOBP=900 tan,同理SOARD=2SOAR=900 tan(),

SABPQR=900[tan+ tan()]+300,

即求 tan+ tan()的最小值,

tan+ tan()= tan+=(*)

,由x(1,4)

則(*)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),此時(shí),

Smin=900×+300=900,

答:圍擋內(nèi)部多邊形ABPQR面積的最小值為900平方米,此時(shí)

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