【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為2：1，左焦點(diǎn)F（﹣2，0），一定點(diǎn)為P（﹣8，0）．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點(diǎn)，設(shè)直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

（3）求△P1P2F面積的最大值．

【答案】（1）+=1；（2）見解析;（3）3．

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），

由題意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，

解得c=2，a=4，b=2，

即橢圓方程為+=1；

（2）證明：設(shè)直線P1P2：y=k（x+8），

代入橢圓方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，

由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有

設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），

x1+x2=﹣，x1x2=，

即有k1+k2=+=+=k，

將韋達(dá)定理代入上式，可得

2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，

則k1+k2=0；

（2）△P1P2F面積S=|PF||y1﹣y2|

=3|k||x1﹣x2|=3|k|=3|k|

=72，

設(shè)t=3+4k2（3＜t＜4），

則S=72=36=36，

當(dāng)=即t=即k=±時，取得最大值，且為3．

則△P1P2F面積的最大值為3．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長為12．

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形若存在，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）

A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D. 某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

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【題目】已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線C的焦點(diǎn)與橢圓的上焦點(diǎn)重合，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線上不同兩點(diǎn)A，B作拋物線的切線，兩切線的斜率，若記AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，AB的弦長，并求的取值范圍.

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【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問是的什么條件？并說明理由．

（2）在實(shí)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問是的什么條件？并說明理由．

（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．

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【題目】如圖，在邊長為4正方體中，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)在正方體表面上移動，且滿足，則點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)和.

（1）為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；

（2）若方程有兩個不相等的實(shí)根，當(dāng)時判斷在上的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，問是否存在x的值，使?jié)M足且的任意實(shí)數(shù)a，不等式恒成立？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且過坐標(biāo)原點(diǎn)O,數(shù)列的前n項和為,點(diǎn)()在二次函數(shù)的圖象上.

(1)求數(shù)列的表達(dá)式;

(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項和為,若對恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項,,,,…,…(),這些項能夠依次構(gòu)成以為首項,q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）.

（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線y=f（x）與直線y＝b（b∈R）有3個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）過點(diǎn)P（﹣1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請說明理由.

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