Question

【題目】已知橢圓C：1左右焦點(diǎn)為F1，F2直線（1）xy0與該橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)在y軸上，另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，1）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為橢圓C上任一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1，F2的弦分別為PM，PN，設(shè)λ1λ2，求λ1+λ2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）10

【解析】

(1)由直線過點(diǎn),可得,又點(diǎn),在橢圓上,可求得,的值,從而得出橢圓方程;

(2)設(shè)出,,,,,,由在橢圓上,則有x02+3y02=6,又根據(jù),,可求出的坐標(biāo),再把,代入,進(jìn)而可求的值.

(1)∵直線(1)xy0與y軸交點(diǎn)為(0,),

∴,

又∵直線(1)xy0與橢圓有公共點(diǎn)(m,1).

∴點(diǎn)(,1)在橢圓上,

∴,

∴a2=6,

∴橢圓C的方程為:;

(2)設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

則有x02+3y02=6,

根據(jù)λ1λ2,

可得M(2,),N(2,),

把M,N代入x02+3y02=6,

可得,

∴λ1+λ2=10.