Question

2．當x≠1且x≠0時，數(shù)列{nx^n-1}的前n項和S_n=1+2x+3x²+…nx^n-1（n∈N^*）可以用數(shù)列求和的“錯位相減法”求得，也可以由x+x²+x³+…+xⁿ（n∈N^*）按等比數(shù)列的求和公式，先求得x+x²+x³+…+xⁿ=$\frac{x-{x}^{n+1}}{1-x}$，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，兩邊同時求導(dǎo)，（x+x²+x³+…+xⁿ）′=（$\frac{x-{x}^{n+1}}{1-x}$）′，從而得到：S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=$\frac{1-（n+1）{x}^{n}+n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$，按照同樣的方法，請從二項展開式（1+x）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$x+C${\;}_{n}^{2}$x²+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ出發(fā)，可以求得，S_n=1×2×C${\;}_{n}^{1}$+2×3×C${\;}_{n}^{2}$+3×4×C${\;}_{n}^{3}$+…+n×（n+1）×C${\;}_{n}^{n}$（n≥4）的和為n（n+3）2^n-2（請?zhí)顚懽詈喗Y(jié)果）

Answer 1

分析 根據(jù)類比推理的思想，由二項式的展開式的兩邊同乘以x，再分別求兩次導(dǎo)，再令x=1時，即可求出答案．

解答 解：∵（1+x）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$x+C${\;}_{n}^{2}$x²+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ，
∴x（1+x）ⁿ=x+${C}_{n}^{1}$x²+C${\;}_{n}^{2}$x³+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ⁺¹，
兩邊求導(dǎo)可得（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n-1=1+2${C}_{n}^{1}$x+3C${\;}_{n}^{2}$x²+4C_n³x³+…+（n+1）C${\;}_{n}^{n}$xⁿ，
兩邊繼續(xù)求導(dǎo)可得n（1+x）^n-1+n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
=1×2${C}_{n}^{1}$+2×3C${\;}_{n}^{2}$x+3×4C_n³x²+…+n（n+1）C${\;}_{n}^{n}$x^n-1，
令x=1，可得n•2^n-1+n•2^n-1+n（n-1）2^n-2=1×2${C}_{n}^{1}$+2×3C${\;}_{n}^{2}$+3×4C_n³+…+n（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=S_n，
∴S_n=n（n+3）2^n-2．
故答案為：n（n+3）2^n-2．

點評 本題考查了類比推理的問題，掌握求導(dǎo)的法則，關(guān)鍵是兩邊同乘以x，考查了學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題