Question

設函數f（x）=2^x+a•2^-x-1（a為實數）．
（1）若a＜0，用函數單調性定義證明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）若a=0，y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，求函數y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據題意，對任意實數x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）與0的關系，化簡可得f（x₁）-f（x₂）＜0，則為增函數；
（2）當a=0，y=f（x）=2^x-1，因y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，可得到y=g（x）的解析式．

解答：解：（1）設任意實數x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(2x1+a•2-x1-1)-(2x2+a•2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)•

2x1+x2-a

2x1+x2

∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；
∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．
又2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）是增函數．
（2）當a=0時，y=f（x）=2^x-1，所以2^x=y+1，所以x=log₂（y+1），y=g（x）=log₂（x+1）．

點評：此題主要考查函數當調性定義的證明方法及相關計算．