Question

【題目】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

（1）不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）設(shè)在內(nèi)的實(shí)根為， ，若在區(qū)間上存在，證明： .

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析

【解析】試題分析:（1）不等式恒成立問題，一般利用變量分離，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，即的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即得，因此實(shí)數(shù)的最大值為.（2）先根據(jù)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求出，再由在內(nèi)的實(shí)根為，得等量關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增減，因此， ， 為其極大值點(diǎn)，根據(jù)極點(diǎn)偏移方法證明：要證： ，即證： ，只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中.利用導(dǎo)數(shù)可得 在上單調(diào)遞增，即得

試題解析：（1）由，所以，

設(shè)，∴.

由，∴， 在上單調(diào)遞增；

，∴， 在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實(shí)數(shù)的最大值為.

（2）設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，

則點(diǎn)為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以，所以，

當(dāng)時(shí)， ， ，因而在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， ，因而在上單調(diào)遞增減，

又，則， ，

顯然當(dāng)時(shí)， .

要證： ，即證： ，而在上單調(diào)遞增減，

故可證，又由，即證，

即，

記，其中.

.

設(shè),當(dāng)時(shí)， ； 時(shí)， ，

故.

而，故，而，從而，

因此當(dāng)，即單調(diào)遞增.

從而當(dāng)時(shí)， ，即，故得證.