Question

已知數列{a_n}為等比數列．
（1）若a₁+a₂+a₃=21，a₁a₂a₃=216，求a_n；
（2）若a₃a₅=18，a₄a₈=72，求公比q．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由等比數列的性質可得a₂³=216，可得a₂=6，結合條件可得a₁+a₃=15．由未定定理可得a₁，a₃是方程x²-15x+36=0的兩根，解方程可得a₁的值，可得q，可得所求；（2）由題意可得18q⁴=72，解方程可得．

解答： 解：（1）由等比數列的性質可得a₁a₂a₃=a₂³=216，∴a₂=6，
∴a₁a₃=36且a₁+a₃=21-a₂=15．
∴a₁，a₃是方程x²-15x+36=0的兩根，
解方程可得兩根為3和12．
當a₁=3時，q=

a2

a1

=2，
∴a_n=3×2^n-1；
同理，當a₁=12時，q=

1

2

，a_n=12•（

1

2

）^n-1=3×2^3-n．
（2）由題意可得a₄a₈=a₃q•a₅q³=a₃a₅q⁴=18q⁴=72，
∴q⁴=4，∴公比q=±

2

．

點評：本題考查等比數列的通項公式和性質，涉及分類討論的思想，屬中檔題．