Question

15．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，若△ABC最長邊為$\sqrt{10}$，則最短邊長為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知及同角三角函數(shù)基本關系式可求cosA，sinA，sinB，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosC=-$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜0，可得c=$\sqrt{10}$，最短邊為b，由正弦定理即可求得b的值．

解答 解：由tanA=$\frac{1}{2}$＞0，得cosA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$＞0，得sinB=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
于是cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜0，即∠C為最大角，
故有c=$\sqrt{10}$，最短邊為b，
于是由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，求得b=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題．